Anillos y Cuerpos. Temas Avanzados

Estos Temas avanzados de nuestro curso de Anillos y cuerpos constituyen la continuación natural del Curso básico, en el que expusimos los fundamentos de estas estructuras algebraicas. De hecho, las numeraciones de los capítulos (del VI al X) y de los ejercicios (del 54 al 109) comienzan donde terminaron las del citado Curso básico.

De nuevo, el estudio de las ecuaciones polinómicas es el hilo conductor. Comenzamos en el capítulo VI con el estudio de las sumas de cuadrados en distintos anillos y cuerpos y con dos casos particulares de la más famosa de las ecuaciones polinómicas: xⁿ + yⁿ = zⁿ. En el capítulo VII se presenta la teoría de eliminación, que es un instrumento muy útil en geometría algebraica, y nosotros emplearemos de modo esencial en el capítulo VIII dedicado a estudiar raíces de polinomios en varios ámbitos. Probamos en particular un resultado que enunciamos sin demostración en el Curso básico: cómo se determina el grupo de Galois de los polinomios de grado 4 a partir de su discriminante y su resolvente cúbica.

El capítulo IX incluye varias aplicaciones de la Teoría de Galois. La primera es explicar cuáles son los polinomios cuyas raíces se pueden expresar mediante sumas, productos y extracción de raíces de una cantidad finita de elementos del cuerpo al que pertenecen sus coeficientes. Después tratamos los llamados tres problemas clásicos de las construcciones con regla y compás: la trisección del ángulo de amplitud p/3, la cuadratura del círculo –construir un cuadrado cuya área coincida con la del círculo de radio 1– y la duplicación del cubo –construir un cubo cuyo volumen duplique el del cubo de arista 1. Probamos que las tres construcciones son imposibles. Como última aplicación determinamos qué polígonos regulares se pueden dibujar con regla y compás.

En el capítulo X también se estudian ecuaciones polinomiales, pero difiere sustancialmente de los anteriores en los objetos y métodos empleados: los cuerpos de coeficientes son finitos.

Las citas internas, incluidas las del Curso Básico, se hacen por el número del resultado de que se trate, precedido del capítulo en el que esté, si es distinto del que contiene la cita. Además, citamos el texto

[G]  E. Bujalance, J.J. Etayo, J.M. Gamboa: Teoría elemental de grupos. Madrid: UNED 2018.

para aquellos resultados que involucran propiedades elementales de los grupos finitos.

Finalmente al completar este segundo volumen de nuestro texto Anillos y Cuerpos, queremos recordar a Víctor Fernández-Laguna, compañero de siempre, cuya colaboración hizo mejor nuestro trabajo.