El presente libro es fruto del trabajo del autor ejerciendo la docencia de la asignatura Topología en el Grado de Matemáticas de la Universidad de Cádiz. Por su extensión y completitud, más podría ser usado como manual de consulta o como material de introducción a esta apasionante rama de las Matemáticas, porque, aunque para un estudiante la Topología puede no ser más que una asignatura, en realidad ocupa una posición mucho más importante como comentaremos un poco más adelante.
En consecuencia, el esquema seguido obedece a un criterio de complejidad ascendente, donde cada capítulo presenta definiciones, ejemplos y propiedades relacionados, de modo que poco a poco se va profundizando en los conceptos, sus significados, sus interrelaciones y sus aplicaciones.
Puesto que la noción de conjunto es la base sobre la que se construye la Topología, que al fin y al cabo es la topología de conjuntos, dedicamos el capítulo inicial a dar un rápido repaso a la teoría de conjuntos. Aunque es aconsejable que el lector ya posea dichos conocimientos, buscando la autocontención (algo que siempre se agradece en cualquier libro) se ha dedicado esta parte a exponerlos/recordarlos, si bien únicamente nos detendremos en los aspectos que tienen más utilidad para nuestros propósitos.
El segundo capítulo corresponde a los espacios métricos, que constituyen uno de los ejemplos más importantes e intuitivos de espacio topológico. Además, la riqueza de la estructura de un espacio métrico nos permitirá a menudo acercarnos al Análisis. Asá, el concepto de topología inducida por una métrica nos servirá para tomar un primer contacto con las topologías (sección 2.4) y para empezar a comprender el concepto de continuidad (sección 2.5). Este capítulo puede ser suprimido yendo directamente al Capítulo 3, aunque se recomienda su lectura como paso intermedio antes de adentrarse en la abstracción que supone la topología de conjuntos.
En el tercer capítulo presentaremos los espacios topológicos desde un punto de vista genérico. Aquí es donde realmente empieza nuestra teoría con las definiciones de topología, conjunto abierto, entorno abierto, base de una topología, etc. En la sección 3.3 se estudian lo que hemos denominado subconjuntos importantes, a saber: la adherencia, el interior y la frontera de un conjunto dado en un espacio topológico.
Vistos los espacios topológicos, en el Capítulo 4 hablaremos de las aplicaciones entre ellos surgiendo así el concepto de continuidad (en un sentido más amplio que el considerado en Análisis). Esto, junto con la definición de homeomorfismo, será crucial para presentar los resultados más importantes en los capítulos siguientes.
El quinto capítulo se dedica a las topologías importantes, donde la importancia radica en que son las más conocidas y las que poseen de forma natural innumerables conjuntos. Nos referimos a la topología inducida, la topología cociente y la topología producto. De hecho, en muchas ocasiones son equivalentes. En este capítulo hemos incluido la sección 5.2 donde se profundiza en conceptos, a priori no necesarios pero sin duda interesantes, como los de punto aislado, punto de acumulación y punto adherente.
El Capítulo 6 introduce los espacios compactos y es donde el lector puede notar un susceptible aumento en la dificultad de la teoría. En efecto, la compacidad es una propiedad bastante intuitiva pero que, a menudo, induce a errores si no se dedica el merecido tiempo a interiorizarla. Nuevamente se profundizará en las dos últimas secciones (6.3 y 6.4) exponiendo brevemente la compacidad secuencial y la compacidad local, que no son imprescindibles para conocer la Topología más básica, pero son lo bastante enriquecedoras para conocer hasta dónde abarcan los conceptos que hemos ido considerando. Es en estas secciones donde aparecen nuevas definiciones de teoría de conjuntos como son las sucesiones y subsucesiones, y donde los entornos abiertos vuelven a tomar protagonismo.
El séptimo capítulo trata de los espacios de Hausdorff, propiedad que como la compacidad es clásica y sumamente importante. De hecho los espacios topológicos que son a la vez Hausdorff y compactos satisfacen propiedades muy deseables y serán considerados en la sección 7.3. En dicha sección se define la compactificación de Alexandroff, concepto que todo estudiante de Topología debería conocer. La última sección se dedica a los espacios normales que, aunque podrían protagonizar un capítulo propio (como ocurre en otros libros), relacionamos con los espacios de Hausdorff pues ambos provienen de las propiedades de separación.
Los dos últimos capítulos estudia la conexidad y la arco-conexidad de los espacios topológicos. Las dos son de las propiedades más básicas y dedicaremos la parte final para ampliar conocimientos con los conceptos de conexión local y arco-conexión local.
Cerrando el libro hemos incluido un anexo donde se demuestran resultados instrumentales como desigualdades, fórmulas y leyes. También, con ánimo de recordar que esta rama de las Matemáticas es fruto del esfuerzo colectivo de muchos genios matemáticos (si bien no están todos los que son), incluimos la vida y obra de los que hayan sido mencionados con más énfasis en el texto.
